各科目知识点:
考试科目:量子力学 适用专业:凝聚态物理;光学
一、 复习要求:
要求考生熟悉量子理论的物理图象, 掌握基本概念和基本理论,能熟练运用相应的数学方法求解基本的量子体系。
二、主要复习内容:
1、微观客体的波-粒两象性和波函数
波函数的统计诠释(波动-粒子两重性、几率波、动量分布几率、力学量的平均值);态叠加原理(量子态及其表象、态叠加原理);
重点:波函数统计解释、态叠加原理。
2、一维定态问题
方位势(无限深方势阱);一维散射问题(方势垒的穿透);δ势(δ势的穿透、δ势阱中的束缚态);一维谐振子。
重点:掌握一维系统定态问题的能量本征求解及散射态问题的穿透系数计算。
3、量子力学的数学结构
线性算符的运算规则,厄米算符的本征值与本征方程,共同本征函数(角动量本征态与球谐函数、力学量完全集),量子力学的矩阵形式与表象变换(量子态在不同表象表示、力学量的矩阵表示、量子力学的矩阵形式);Dirac符号。
重点:量子力学的基本假定及其数学表述,掌握线性、厄米算符的运算,量子力学的矩阵形式,能应用Dirac符号运算规则。
4、中心力场
中心力场中粒子运动的一般性质,氢原子,三维各向同性谐振子。
重点:氢原子能级.
5、荷电粒子在电磁场中的运动
电磁场中荷电粒子的Schrodinger 方程,正常Zeeman 效应;
6、电子自旋
自旋态的描述、自旋算符与Pauli矩阵、电子的内禀磁矩,总角动量,碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应,自旋单态与三重态。
重点:掌握自旋态的数学表述,自旋与外磁场耦合、自旋--自旋耦合。
7、近似方法
非简并态微扰论,简并态微扰论、变分法
重点:非简并和简并微扰论,运用微扰论作能级的近似修正计算。
8、量子跃迁
量子态随时间的演化(Hamilton量不含时间的体系),量子跃迁几率与含时微扰论。
重点:量子态随时间的演化,掌握Hamilton量不显含时间态随时间的演化。
三、参考书:
《量子力学导论》(第二版) 曾谨言,北京大学出版社,1998;
或《量子力学》卷1(第三版)曾谨言, 科学出版社,2000
考试科目:线性代数 适用专业:应用数学
一、 复习要求:
要求学生比校系统理解线性代数的基本概念,基本理论,掌握线性代数的基本计箅方法.要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力.
二、主要复习内容:
1. 理解行列式的概念,掌握行列式的性质,会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用克莱姆法则解线性方程组.
2. 理解矩阵的概念,了解单位矩阵,对角矩阵,数量矩阵,三角矩阵,对称矩阵,正交矩阵,掌握矩阵的加法,数乘,乘法,转置及它们的运算法则,了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件,会用伴随矩阵求逆矩阵,了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念。理解矩阵秩的概念.掌握矩阵的初等变换,会用初等变换求矩阵的逆和逆矩阵,了解分块矩阵掌握分块矩阵的运算法则.
3. 理解向量的概念、掌握向量的加法和数乘运算法则,理解向量的线性组合线性表示,向量组的线性相关线性无关的定义,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质和判别法。理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念会求向量组的极大线性无关组及向量组的秩,了解向量组等价的概念,向量组的秩与矩阵秩的关系。
4. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件,掌握非齐次线性方程有解和无解的判别方法。理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念,掌握齐次线性方程组基础解系的求法。理解非齐次线性方程组解的结构和通解的概念,掌握非齐次线性方程组通解的求法,掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
5. 了解集合、数域的概念,了解n维向量空间,子空间、基、维数,坐标的概念,掌握求n维向量空间的基和维数,判别子空间,了解基变换与坐标变换公式,会求过渡矩阵,理解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法,了解规范正交基、正交矩阵的概念,以及它们的性质。
6. 要求理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法。理解相似矩阵的概念,性质及矩阵可相似对角阵的充要条件,掌握用相似变换化矩阵为对角阵的方法。了解实对称矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,掌握用相似变换化实对称矩阵为对角阵的方法。
7. 了解二次型的概念,掌握用矩阵表示二次型,了解二次型的秩,合同矩阵的概念,理解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理,掌握用矩阵的初等变换和配方法化二次为标准形。理解正定二次型与正定矩阵的概念,掌握正定二次型与正定矩阵判别法。掌握用正定矩阵化二次型为标准形的方法。 理解线性变换的概念及其运算的法则,了解线性变换在基下的矩阵,掌握线性变换运算与矩阵运算的运算法则,了解线性变换在不同基下的矩阵关系,了解正交变换,对称变换的概念及其性质
三、参考书:
《高等代数》(线性部分) 北京大学编
考试科目:453高等代数
适用专业:基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、系统分析与集成
一、复习要求:
要求考生熟练掌握高等代数的基本理论以及常用的技巧和方法,能够熟练地综合运用高等代数的理论和方法去求解和证明有关问题
二、主要复习内容
本课程考核内容包括行列式、矩阵理论、线性方程组、多项式理论、二次型、线性空间、线性变换七大部分组成.
1. 行列式
行列式的定义、性质和常用计算方法(如:三角化法、加边法、降阶法、递推法、裂项法、范得蒙行列式法、数学归纳法、作辅助行列式法)。
重点:n阶行列式的计算。
2. 矩阵理论
矩阵的运算,分块矩阵的初等变换与矩阵的秩,可逆矩阵与伴随矩阵,矩阵的三种等价关系(等价、合同、相似),矩阵的特征值和特征向量,矩阵的迹,矩阵的最小多项式,矩阵的对角化,矩阵的常用分解(如:等价分解,满秩分解,实对称矩阵的正交相似分解,实可逆阵的正交三角分解,Jordan分解),几种特殊矩阵的常用性质(如:准对角阵,对称阵与反对称阵,幂等阵,幂零阵,对合阵,正交阵)。
重点:利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式,矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法,矩阵的三种等价关系的关系,矩阵对角化的判断(特别是多个矩阵的同时对角化问题),矩阵分解的证明及应用(特别是实对称矩阵的正交相似分解,Jordan标准型的计算与有关证明)。
3. 线性方程组
Cramer法则,齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系的求法和有关证明,非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点:非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的有关证明。
4.多项式理论
多项式的整除,最大公因式与最小公倍式,多项式的互素,不可约多项式与因式分解,多项式函数与多项式的根。
重点:重要定理的证明,如因式分解唯一性定理,Eisenstein判别法,Gauss引理等,运用多项式理论证明有关问题,如多项式的互素和不可约多项式的性质的有关证明与应用。
5.二次型理论
二次型线性空间与对称矩阵空间同构,化二次型为标准形和正规形,Sylvester惯性定律,正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义和性质,正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点:正定和半正定矩阵的有关证明,n级方阵按合同关系的分类问题。
6. 线性空间
线性空间的定义,向量组的线性关系(线性相关与线性无关,向量组的等价,极大线性无关组的求法,替换定理),基与扩充基定理,维数公式,坐标变换,基变换与坐标变换,生成子空间,子空间的交与和(包括直和),内积和欧氏空间的定义及简单性质,度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用,线性空间的同构。
重点:向量组的线性相关与线性无关的综合证明,判断一个向量是否由一组向量表示及如何表示,求向量组的极大无关组并用之表示其余向量,维数公式的证明及应用,特别是子空间直和的有关证明,标准正交基的求法及其性质的有关证明。
7. 线性变换
线性变换的定义、运算与矩阵,线性变换的核与值域,不变子空间,线性变换的特征根与特征向量,特征子空间,线性变换的对角化,正交变换、对称变换与反对称变换,线性变换与其矩阵对应关系的应用。
重点:线性变换与其矩阵对应关系的应用,线性变换的对角化,线性变换的核与值域。
三、参考书目:
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数,北京:高等教育出版社,1988,第2版.