华东师大2005高代试题
考生注意：无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号）
一．填空、选择、是非题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．设3阶方阵
的特征值为2，3，5，则
2．如果
是
的2重根，则
一定是多项式
的5重根。
3．设向量组
…，
线性相关，且其中任意
个向量线性无关，则存在全不为0的 数
…，
，使得
4．设
与
分别是数域
上8元齐次线性方程组
与
的解空间，如果
，
，那么
5．实反对称矩阵的非零特征值必为：
A. 正实数 B.负实数 C.1或-1 D.纯虚数
6．若三次实系数多项式
恰有一个实根，
为
的判别式，则 A. B.
C.
D.
7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有 个
8．设
是行列式等于-1的正交变换，则 一定是
的特征值。
9．排列
与排列
具有相同的奇偶性的充要条件是
10．设
是数域
上非齐次线性方程组
的特解，
是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是：
A.
是
的一组线性无关解向量；
B.
的每个解均可表为
的线性组合。
C.
是
的解；
D.
的每个解均可表为
的线性组合。
11．以下各向量组中线性无关的向量组为：
A.
B.
C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);
D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)
12. 由标准欧几里得空间
中的向量组
，
，
，张成的子空间W的一组规范正交基为
13．设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则
= W
（A）
（B）
（C） = （D）
14．
的逆矩阵
15．设
,如果
，则
二、计算题
16．（12分）求实二次型
的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩。
17．（18分）讨论
满足什么条件时下列方程有解，并求解
18．（12分）试在有理数域、实数域以及复数域上将
分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。
19．（18分）已知
是六阶方阵A的极小多项式，且Tr(A)=6,试求（1）A的特征多项式
及其若尔当典范型；
（2）A的伴随矩阵
的若尔当典范型。
三、证明题
20．（10分）设
是实对称矩阵A的特征多项式，证明：A是负定矩阵的充要条件是
。
21．（10分）证明：如果n阶行列式
中所有元素都为1或-1，则当
时，
22．（10分）证明：每个秩为r的n阶（r<n）实对称矩阵均可表为
n-r个秩为n-1的实对称矩阵的乘积。
